حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{x^{4} + 1} d x$

خطوة 4

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{4})}^{1}$ .

$\int \frac{x^{3}}{{(x^{4})}^{1} + 1} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{1} = x^{4}$ . إذن $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{1} = x^{4}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط.

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

خطوة 6.2

اضرب $\frac{1}{u_{1} + 1}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1}$

خطوة 6.3

انقُل $4$ إلى يسار $u_{1} + 1$ .

$\int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

خطوة 8

لنفترض أن $u_{2} = u_{1} + 1$ . إذن $d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u_{2} = u_{1} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

خطوة 8.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $u_{1} + 1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

خطوة 8.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 8.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 9

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

خطوة 10

بسّط.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 11

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

خطوة 11.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{4}$ .

$\frac{1}{4} \ln (| x^{4} + 1 |) + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \ln (| x^{4} + 1 |) + C$