حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (7 x + e^{4 x}) d x$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int 7 x + e^{4 x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 7 x d x + \int e^{4 x} d x$

خطوة 3

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$7 \int x d x + \int e^{4 x} d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{4 x} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 4 x$ . إذن $d u = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$7 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

خطوة 6.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$7 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{e^{u}}{4} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$7 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

خطوة 8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$7 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

خطوة 9

بسّط.

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{1}{4} e^{u} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$