حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

خطوة 1

احسِب قيمة $\int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $\sin^{2} (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، انقُل $\sin^{2} (x)$ خارج التكامل.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

خطوة 1.2

لنفترض أن $u = \sin (θ)$ . إذن $d u = \cos (θ) d θ$ ، لذا $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

افترض أن $u = \sin (θ)$ . أوجِد $\frac{d u}{d θ}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

خطوة 1.2.1.2

مشتق $\sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

خطوة 1.2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $θ$ في $u = \sin (θ)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

خطوة 1.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $θ$ في $u = \sin (θ)$ .

$u_{upper} = \sin (2 π)$

خطوة 1.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$u_{upper} = \sin (0)$

خطوة 1.2.5.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u (\sin (x) - u) d u d x$

خطوة 1.3

وسّع $u (\sin (x) - u)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) + u (- u) d u d x$

خطوة 1.3.2

أعِد ترتيب $u$ و $- 1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - 1 \cdot u \cdot u d u d x$

خطوة 1.3.3

أخرِج السالب.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u \cdot u) d u d x$

خطوة 1.3.4

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u) d u d x$

خطوة 1.3.5

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u^{1}) d u d x$

خطوة 1.3.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{1 + 1} d u d x$

خطوة 1.3.7

أضف $1$ و $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{2} d u d x$

خطوة 1.3.8

أعِد ترتيب $u \sin (x)$ و $- u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} - u^{2} + u \sin (x) d u d x$

خطوة 1.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (\int_{0}^{0} - u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

خطوة 1.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- \int_{0}^{0} u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

خطوة 1.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

خطوة 1.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

خطوة 1.8

بما أن $\sin (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\sin (x)$ خارج التكامل.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \int_{0}^{0} u d u) d x$

خطوة 1.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{0}) d x$

خطوة 1.10

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

خطوة 1.11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.1

احسِب قيمة $\frac{u^{3}}{3}$ في $0$ وفي $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

خطوة 1.11.2

احسِب قيمة $\frac{u^{2}}{2}$ في $0$ وفي $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.2.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.3.4.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 (0)}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.3.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.4.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 + 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.6

أضف $0$ و $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- 0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.7

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.8

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.9

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.3.9.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 (0)}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.3.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.9.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0^{2}}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.10

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.3.11.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 (0)}{2})) d x$

خطوة 1.11.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.3.11.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

خطوة 1.11.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

خطوة 1.11.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{1})) d x$

خطوة 1.11.3.11.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - 0)) d x$

خطوة 1.11.3.12

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 + 0)) d x$

خطوة 1.11.3.13

أضف $0$ و $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) \cdot 0) d x$

خطوة 1.11.3.14

اضرب $\sin (x)$ في $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + 0) d x$

خطوة 1.11.3.15

أضف $0$ و $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \cdot 0 d x$

خطوة 1.11.3.16

اضرب $\sin^{2} (x)$ في $0$ .

$\int_{0}^{π} 0 d x$

خطوة 2

احسِب قيمة $\int_{0}^{π} 0 d x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

تكامل $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0]_{0}^{π}$

خطوة 2.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احسِب قيمة $0$ في $π$ وفي $0$ .

$(0) + 0$

خطوة 2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$0$