حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = x^{3} + 1$ . إذن $d u = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = x^{3} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} + 0$

خطوة 4.1.5

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$3 x^{2}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

خطوة 5.2

انقُل $3$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 7

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 7.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 7.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 7.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 7.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $2$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3} + 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$