حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x}{e^{x}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x}{e^{x}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x}{e^{x}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x}{e^{x}} d x$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اعكِس علامة أُس $e^{x}$ وأخرِجها من القاسم.

$\int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${(e^{x})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x e^{x \cdot - 1} d x$

خطوة 4.2.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\int x e^{- 1 \cdot x} d x$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\int x e^{- x} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

خطوة 7.2

اضرب $\int e^{- x} d x$ في $1$ .

$x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

خطوة 8

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 8.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 8.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

خطوة 10

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$

خطوة 11

أعِد كتابة $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$ بالصيغة $- x e^{- x} - e^{u} + C$ .

$- x e^{- x} - e^{u} + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$- x e^{- x} - e^{- x} + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ .

$F (x) =$ $- x e^{- x} - e^{- x} + C$