حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} \csc^{2} (\frac{1}{2} t) d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{1}{2} t$ . إذن $d u = \frac{1}{2} d t$ ، لذا $2 d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{1}{2} t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{1}{2} t$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

خطوة 1.1.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{1}{2} t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = \frac{1}{2} t$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$

خطوة 1.3

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{π}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

خطوة 1.3.2

اضرب $2$ في $3$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = \frac{1}{2} t$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (π)}{3}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

خطوة 1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

خطوة 2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \cdot 2 d u$

خطوة 2.3

انقُل $2$ إلى يسار $\csc^{2} (u)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 2 \csc^{2} (u) d u$

خطوة 3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) d u$

خطوة 4

بما أن مشتق $- \cot (u)$ هو $\csc^{2} (u)$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (u)$ هو $- \cot (u)$ .

$2 (- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

خطوة 5

احسِب قيمة $- \cot (u)$ في $\frac{π}{3}$ وفي $\frac{π}{6}$ .

$2 (- \cot (\frac{π}{3}) + \cot (\frac{π}{6}))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \cot (\frac{π}{6}))$

خطوة 6.2

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{6})$ هي $\sqrt{3}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

خطوة 7.2

اضرب $2 (- \frac{1}{\sqrt{3}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

خطوة 7.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

خطوة 7.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اضرب $\frac{2}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

خطوة 8.1.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

اضرب $\frac{2}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

خطوة 8.1.2.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

خطوة 8.1.2.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 2 \sqrt{3}$

خطوة 8.1.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 2 \sqrt{3}$

خطوة 8.1.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

خطوة 8.1.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

خطوة 8.1.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 2 \sqrt{3}$

خطوة 8.1.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

خطوة 8.1.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

خطوة 8.1.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 2 \sqrt{3}$

خطوة 8.1.2.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3}$

خطوة 8.2

لكتابة $2 \sqrt{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 8.3

اجمع $2 \sqrt{3}$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

خطوة 8.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

خطوة 8.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 8.5.2

أضف $- 2 \sqrt{3}$ و $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

الصيغة العشرية:

$2.30940107 \dots$