حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{- 3 x - 3}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

خطوة 1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x$ .

$\int \frac{3 (- x) - 3}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$\int \frac{3 (- x) + 3 (- 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x) + 3 (- 1)$ .

$\int \frac{3 (- x - 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

خطوة 2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int \frac{- x - 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = x^{2} + 2 x - 4$ . إذن $d u = (2 x + 2) d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = (- x - 1) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = x^{2} + 2 x - 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 4]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2 x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 3.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 3.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 3.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 2 + 0$

خطوة 3.1.4.2

أضف $2 x + 2$ و $0$ .

$2 x + 2$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$3 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

خطوة 4.3

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$3 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$3 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

خطوة 6

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

خطوة 8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 3$ .

$\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 8.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 8.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 8.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 8.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 8.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 8.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة $- \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $- \frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10.2.3

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{- 6}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3}{1} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10.2.4.2.4

اقسِم $- 3$ على $1$ .

$- 3 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 2 x - 4$ .

$- 3 {(x^{2} + 2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} + C$