حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)}{x}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) + 5 \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 5 \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 5 \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 5 \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.4

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + 5 lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + 5 \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.6

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + 5 \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.7

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0) + 5 \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.7.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0) + 5 \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.8.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{\sin (0) + 5 \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.8.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0 + 5 \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.8.1.3

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{0 + 5 \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.8.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.8.1.5

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.8.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.1.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 \sin (3 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.2.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (3 x) (3 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.5

اضرب $3$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (3 x) \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.6

انقُل $3$ إلى يسار $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (3 \cdot \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.7

اضرب $3$ في $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 15 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 15 \cos (3 x)}{1}$

خطوة 1.4

اقسِم $2 \cos (2 x) + 15 \cos (3 x)$ على $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) + 15 \cos (3 x)$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 15 \cos (3 x)$

خطوة 2.2

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 15 \cos (3 x)$

خطوة 2.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 15 \cos (3 x)$

خطوة 2.4

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 15 \cos (3 x)$

خطوة 2.5

انقُل الحد $15$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 lim_{x \to 0} \cos (3 x)$

خطوة 2.6

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)$

خطوة 2.7

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$2 \cos (2 \cdot 0) + 15 \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$2 \cos (2 \cdot 0) + 15 \cos (3 \cdot 0)$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$2 \cos (0) + 15 \cos (3 \cdot 0)$

خطوة 4.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$2 \cdot 1 + 15 \cos (3 \cdot 0)$

خطوة 4.1.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + 15 \cos (3 \cdot 0)$

خطوة 4.1.4

اضرب $3$ في $0$ .

$2 + 15 \cos (0)$

خطوة 4.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$2 + 15 \cdot 1$

خطوة 4.1.6

اضرب $15$ في $1$ .

$2 + 15$

خطوة 4.2

أضف $2$ و $15$ .

$17$