حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$

خطوة 1

اكتب $6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$ في صورة دالة.

$f (x) = 6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4} d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 6 e^{2 x} d x + \int {(x + 1)}^{4} d x$

خطوة 5

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int e^{2 x} d x + \int {(x + 1)}^{4} d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 6.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$6 \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

خطوة 7

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int {(x + 1)}^{4} d x$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$\frac{6}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

خطوة 9.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

خطوة 9.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

خطوة 9.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

خطوة 9.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

خطوة 9.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$3 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

خطوة 10

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$3 (e^{u_{1}} + C) + \int {(x + 1)}^{4} d x$

خطوة 11

لنفترض أن $u_{2} = x + 1$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

افترض أن $u_{2} = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 11.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 11.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 11.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 11.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$3 (e^{u_{1}} + C) + \int {u_{2}}^{4} d u_{2}$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{4}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$3 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C$

خطوة 13

بسّط.

$3 e^{u_{1}} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C$

خطوة 14

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$3 e^{2 x} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C$

خطوة 14.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + 1$ .

$3 e^{2 x} + \frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} + C$

خطوة 15

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$ .

$F (x) =$ $3 e^{2 x} + \frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} + C$