حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

خطوة 4

أخرِج العامل $\sqrt{x}$ من $x \sqrt{x} + \sqrt{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $\sqrt{x}$ من $x \sqrt{x}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2

اضرب في $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.3

أخرِج العامل $\sqrt{x}$ من $\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1$ .

$\int \frac{\sqrt{x} (x + 1)}{x^{2}} d x$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{- 2} d x$

خطوة 5.2.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} (x + 1) x^{- 2} d x$

خطوة 5.2.3

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $x^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

انقُل $x^{- 2}$ .

$\int x^{- 2} x^{\frac{1}{2}} (x + 1) d x$

خطوة 5.2.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{- 2 + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

خطوة 5.2.3.3

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

خطوة 5.2.3.4

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

خطوة 5.2.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (x + 1) d x$

خطوة 5.2.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.6.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\int x^{\frac{- 4 + 1}{2}} (x + 1) d x$

خطوة 5.2.3.6.2

أضف $- 4$ و $1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} (x + 1) d x$

خطوة 5.2.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int x^{- \frac{3}{2}} (x + 1) d x$

خطوة 6

وسّع $x^{- \frac{3}{2}} (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + x^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d x$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب $x^{- \frac{3}{2}}$ و $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + 1 \cdot x^{- \frac{3}{2}} d x$

خطوة 6.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} x^{1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

خطوة 6.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

خطوة 6.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int x^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

خطوة 6.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int x^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

خطوة 6.7

أضف $- 3$ و $2$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

خطوة 6.8

اضرب $x^{- \frac{3}{2}}$ في $1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

خطوة 7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط.

$2 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 11.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 11.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$