حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (x^{2} + 1)$

خطوة 1

اكتب $\ln (x^{2} + 1)$ في صورة دالة.

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \ln (x^{2} + 1) d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x^{2} + 1)$ و $d v = 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $x$ و $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 5.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 5.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 5.5

أضف $1$ و $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (x^{2} + 1) x - (2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 8

اقسِم $x^{2}$ على $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 8.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

خطوة 8.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

خطوة 8.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

خطوة 8.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

خطوة 8.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

خطوة 12.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

خطوة 13

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - (\arctan (x) + C))$

خطوة 14

بسّط.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 x + 2 \arctan (x) + C$

خطوة 15

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

$F (x) =$ $\ln (x^{2} + 1) x - 2 x + 2 \arctan (x) + C$