حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- 5}^{9} \frac{2 {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}}}{3} d x$

خطوة 1

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{2}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{2}{3} \int_{- 5}^{9} {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 2 x + 9$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 2 x + 9$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $2 x + 9$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 9]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 2.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x + 9$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 5 + 9$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $2$ في $- 5$ .

$u_{lower} = - 10 + 9$

خطوة 2.3.2

أضف $- 10$ و $9$ .

$u_{lower} = - 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x + 9$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 9 + 9$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $2$ في $9$ .

$u_{upper} = 18 + 9$

خطوة 2.5.2

أضف $18$ و $9$ .

$u_{upper} = 27$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 27$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

خطوة 3

اجمع $u^{\frac{1}{3}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

خطوة 5.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{2}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

خطوة 5.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

خطوة 5.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

خطوة 5.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{27}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ في $27$ وفي $- 1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

خطوة 7.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

خطوة 7.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

خطوة 7.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

خطوة 7.2.4

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

خطوة 7.2.5

اجمع $\frac{3}{4}$ و $81$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

خطوة 7.2.6

اضرب $3$ في $81$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

خطوة 7.2.7

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}})$

خطوة 7.2.8

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

خطوة 7.2.9

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

خطوة 7.2.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{4})$

خطوة 7.2.10

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

خطوة 7.2.11

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4})$

خطوة 7.2.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{243 - 3}{4}$

خطوة 7.2.13

اطرح $3$ من $243$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{240}{4}$

خطوة 7.2.14

احذِف العامل المشترك لـ $240$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.14.1

أخرِج العامل $4$ من $240$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4}$

خطوة 7.2.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.14.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 (1)}$

خطوة 7.2.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1}$

خطوة 7.2.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{60}{1}$

خطوة 7.2.14.2.4

اقسِم $60$ على $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 60$

خطوة 7.2.15

اجمع $\frac{1}{3}$ و $60$ .

$\frac{60}{3}$

خطوة 7.2.16

احذِف العامل المشترك لـ $60$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.16.1

أخرِج العامل $3$ من $60$ .

$\frac{3 \cdot 20}{3}$

خطوة 7.2.16.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.16.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 20}{3 (1)}$

خطوة 7.2.16.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 1}$

خطوة 7.2.16.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{20}{1}$

خطوة 7.2.16.2.4

اقسِم $20$ على $1$ .

$20$

خطوة 8