حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \arctan (\sqrt{x - 9})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x - 9}$ في صورة ${(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

مشتق $\arctan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

اضرب الأُسس في ${({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 + {(x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 + {(x - 9)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4

بسّط.

$\frac{1}{1 + x - 9} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 5

اطرح $9$ من $1$ .

$\frac{1}{x - 8} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x - 9$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x - 9$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 11

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 11.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{{(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 11.3

انقُل ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 11.4

اضرب $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{x - 8}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)} \frac{d}{d x} [x - 9]$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

خطوة 14

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)} (1 + 0)$

خطوة 15

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)} \cdot 1$

خطوة 15.2

اضرب $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)}$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)}$