حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x' = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$\frac{d x}{d t} = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

خطوة 2

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $3 t^{2}$ من $3 x t^{2} - 3 t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $3 t^{2}$ من $3 x t^{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) - 3 t^{2}$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $3 t^{2}$ من $- 3 t^{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $3 t^{2}$ من $3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$ .

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x - 1)$

خطوة 2.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x - 1} (3 t^{2} (x - 1))$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 \frac{1}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

خطوة 2.3.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

خطوة 2.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $t^{2} (x - 1)$ .

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

خطوة 2.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

خطوة 2.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 t^{2}$

خطوة 2.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{x - 1} d x = 3 t^{2} d t$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{x - 1} d x = \int 3 t^{2} d t$

خطوة 3.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لنفترض أن $u = x - 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

افترض أن $u = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 3.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.2.1.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 3.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 3.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 3 t^{2} d t$

خطوة 3.2.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

خطوة 3.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أعِد كتابة $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ بالصيغة $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

خطوة 3.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

خطوة 3.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

خطوة 3.3.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

خطوة 3.3.3.2.3

اضرب $t^{3}$ في $1$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| x - 1 |)} = e^{t^{3} + C}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{t^{3} + C} = | x - 1 |$

خطوة 4.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$ .

$| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$

خطوة 4.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm e^{t^{3} + C}$

خطوة 4.3.3

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = \pm e^{t^{3} + C} + 1$

خطوة 5

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $e^{t^{3} + C}$ بالصيغة $e^{t^{3}} e^{C}$ .

$x = \pm e^{t^{3}} e^{C} + 1$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب $e^{t^{3}}$ و $e^{C}$ .

$x = \pm e^{C} e^{t^{3}} + 1$

خطوة 5.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$x = C e^{t^{3}} + 1$