حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(2 - 7 x)}^{4}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int {(2 - 7 x)}^{4} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = 2 - 7 x$ . إذن $d u = - 7 d x$ ، لذا $- \frac{1}{7} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = 2 - 7 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $2 - 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 7 x]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - 7 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

خطوة 3.1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 7 \cdot 1$

خطوة 3.1.3.3

اضرب $- 7$ في $1$ .

$0 - 7$

خطوة 3.1.4

اطرح $7$ من $0$ .

$- 7$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u^{4} \frac{1}{- 7} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int u^{4} (- \frac{1}{7}) d u$

خطوة 4.2

اجمع $u^{4}$ و $\frac{1}{7}$ .

$\int - \frac{u^{4}}{7} d u$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{u^{4}}{7} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{7}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{7} \int u^{4} d u)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{7} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ .

$- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{5 \cdot 7} u^{5} + C$

خطوة 8.2.2

اضرب $5$ في $7$ .

$- \frac{1}{35} u^{5} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 - 7 x$ .

$- \frac{1}{35} {(2 - 7 x)}^{5} + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = {(2 - 7 x)}^{4}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{35} {(2 - 7 x)}^{5} + C$