حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos^{5} (x)$

خطوة 1

اكتب $\cos^{5} (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = \cos^{5} (x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \cos^{5} (x) d x$

خطوة 4

أخرِج عامل $\cos^{4} (x)$ .

$\int \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

خطوة 5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\int {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

خطوة 5.2

أعِد كتابة ${\cos (x)}^{2 (2)}$ في صورة أُس.

$\int {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

خطوة 6

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\cos^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u = \sin (x)$ . إذن $d u = \cos (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = \sin (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 7.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

خطوة 8

وسّع ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة ${(1 - u^{2})}^{2}$ بالصيغة $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

خطوة 8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

خطوة 8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

خطوة 8.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

خطوة 8.5

انقُل $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

خطوة 8.6

انقُل $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 8.7

اضرب $1$ في $1$ .

$\int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 8.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 8.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 8.10

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 8.11

اضرب $u^{2}$ في $1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 8.12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

خطوة 8.13

أضف $2$ و $2$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

خطوة 8.14

اطرح $u^{2}$ من $- u^{2}$ .

$\int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

خطوة 8.15

أعِد ترتيب $- 2 u^{2}$ و $u^{4}$ .

$\int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

خطوة 8.16

انقُل $1$ .

$\int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

خطوة 11

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

خطوة 13

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

خطوة 14.2

بسّط.

$\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

خطوة 15

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{5} (x)}{5} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + C$

خطوة 16

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{2}{3} \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

خطوة 17

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \cos^{5} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{2}{3} \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$