حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{2} (5^{x^{3}} - 3^{2 x^{3}}) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = x^{3}$ . إذن $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = x^{3}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int (5^{u_{1}} - 3^{2 u_{1}}) \frac{1}{3} d u_{1}$

خطوة 2

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int 5^{u_{1}} - 3^{2 u_{1}} d u_{1}$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{3} (\int 5^{u_{1}} d u_{1} + \int - 3^{2 u_{1}} d u_{1})$

خطوة 4

تكامل $5^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C + \int - 3^{2 u_{1}} d u_{1})$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \int 3^{2 u_{1}} d u_{1})$

خطوة 6

لنفترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . إذن $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

خطوة 6.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \int 3^{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2})$

خطوة 7

اجمع $3^{u_{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \int \frac{3^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - (\frac{1}{2} \int 3^{u_{2}} d u_{2}))$

خطوة 9

تكامل $3^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \frac{1}{2} (\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)} + C))$

خطوة 10

بسّط.

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} - \frac{3^{u_{2}}}{2 \ln (3)}) + C$

خطوة 11

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} - \frac{3^{u_{2}}}{2 \ln (3)}) + C$

خطوة 11.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} - \frac{3^{2 u_{1}}}{2 \ln (3)}) + C$

خطوة 11.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}) + C$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} + \frac{1}{3} (- \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}) + C$

خطوة 12.2

اجمع.

$\frac{1 \cdot 5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} + \frac{1}{3} (- \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}) + C$

خطوة 12.3

اضرب $\frac{1}{3} (- \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}$ .

$\frac{1 \cdot 5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{3 (2 \ln (3))} + C$

خطوة 12.3.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{1 \cdot 5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{6 \ln (3)} + C$

خطوة 12.4

اضرب $5^{x^{3}}$ في $1$ .

$\frac{5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{6 \ln (3)} + C$

خطوة 13

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3 \ln (5)} \cdot 5^{x^{3}} - \frac{1}{6 \ln (3)} \cdot 3^{2 x^{3}} + C$