حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 4 x^{2} - 16$ و $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 16] - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} - 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{(x - 2) (8 x + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - 2) (8 x + 0) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2

أضف $8 x$ و $0$ .

$\frac{(x - 2) (8 x) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 4.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (8 x) - (4 x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (8 x) - (4 x^{2} - 16) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 4.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - 2) (8 x) - (4 x^{2} - 16) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 4.6

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x - 2) (8 x) - (4 x^{2} - 16) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (8 x) - 2 (8 x) - (4 x^{2} - 16) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (8 x) - 2 (8 x) + (- (4 x^{2}) - - 16) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (8 x) - 2 (8 x) - (4 x^{2}) \cdot 1 - - 16 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{8 x \cdot x - 2 (8 x) - (4 x^{2}) \cdot 1 - - 16 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{8 (x \cdot x) - 2 (8 x) - (4 x^{2}) \cdot 1 - - 16 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{8 x^{2} - 2 (8 x) - (4 x^{2}) \cdot 1 - - 16 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.3

اضرب $8$ في $- 2$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - (4 x^{2}) \cdot 1 - - 16 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.4

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} \cdot 1 - - 16 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.5

اضرب $- 4$ في $1$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} - - 16 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.6

اضرب $- - 16 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.6.1

اضرب $- 1$ في $- 16$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} + 16 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.6.2

اضرب $16$ في $1$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.2

اطرح $4 x^{2}$ من $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{2} - 16 x + 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.5.1.2

أخرِج العامل $4$ من $- 16 x$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.5.1.3

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.5.1.4

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{2} + 4 (- 4 x)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.5.1.5

أخرِج العامل $4$ من $4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.5.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.5.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

خطوة 5.5.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.5.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.6

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x - 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.6.2

اقسِم $4$ على $1$ .

$4$