حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- \frac{2}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{2}{5} x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$- \frac{2}{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $6$ في $- 1$ .

$- 6 (\frac{2}{5}) x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.4

اجمع $- 6$ و $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 6 \cdot 2}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.5

اضرب $- 6$ في $2$ .

$\frac{- 12}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.6

اجمع $\frac{- 12}{5}$ و $x^{5}$ .

$\frac{- 12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 (4 x^{3})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $4$ في $5$ .

$f' (x) = - \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $- \frac{12}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{12 x^{5}}{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$- \frac{12}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $5$ في $- 1$ .

$- 5 (\frac{12}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.4

اجمع $- 5$ و $\frac{12}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 12}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.5

اضرب $- 5$ في $12$ .

$\frac{- 60}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.6

اجمع $\frac{- 60}{5}$ و $x^{4}$ .

$\frac{- 60 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 60$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.7.1

أخرِج العامل $5$ من $- 60 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.7.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 12 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.7.2.4

اقسِم $- 12 x^{4}$ على $1$ .

$- 12 x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $20 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{4} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 12 x^{4} + 20 (3 x^{2})$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $3$ في $20$ .

$f'' (x) = - 12 x^{4} + 60 x^{2}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 12 x^{4} + 60 x^{2}$ .

$- 12 x^{4} + 60 x^{2}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 12 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 12 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 12 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$- 12 u^{2} + 60 u = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $12 u$ من $- 12 u^{2} + 60 u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أخرِج العامل $12 u$ من $- 12 u^{2}$ .

$12 u (- u) + 60 u = 0$

خطوة 2.2.3.2

أخرِج العامل $12 u$ من $60 u$ .

$12 u (- u) + 12 u (5) = 0$

خطوة 2.2.3.3

أخرِج العامل $12 u$ من $12 u (- u) + 12 u (5)$ .

$12 u (- u + 5) = 0$

خطوة 2.2.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$12 x^{2} (- x^{2} + 5) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 5 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 2.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 2.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $- x^{2} + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $- x^{2} + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x^{2} + 5 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $- x^{2} + 5 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$- x^{2} = - 5$

خطوة 2.5.2.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 5$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 5$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

خطوة 2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

خطوة 2.5.2.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{- 1}$

خطوة 2.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.3.1

اقسِم $- 5$ على $- 1$ .

$x^{2} = 5$

خطوة 2.5.2.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{5}$

خطوة 2.5.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{5}$

خطوة 2.5.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{5}$

خطوة 2.5.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $12 x^{2} (- x^{2} + 5) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - \frac{2}{5} \cdot {(0)}^{6} + 5 {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = - \frac{2}{5} \cdot 0 + 5 {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $- \frac{2}{5} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{2}{5}) + 5 {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.2.2

اضرب $0$ في $\frac{2}{5}$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $5$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 3.1.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $\sqrt{5}$ في $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\sqrt{5}$ في العبارة.

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(\sqrt{5})}^{6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{6}$ بالصيغة $5^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{6}{2}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{3}{1}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.4.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2}{5}$ إلى بسط الكسر.

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.2.2

أخرِج العامل $5$ من $5^{3}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.3

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.4

اضرب $- 2$ في $25$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{4}$ بالصيغة $5^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

خطوة 3.3.2.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{4}{2}}$

خطوة 3.3.2.1.5.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.5.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

خطوة 3.3.2.1.5.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.5.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

خطوة 3.3.2.1.5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

خطوة 3.3.2.1.5.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2}{1}}$

خطوة 3.3.2.1.5.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

خطوة 3.3.2.1.6

اضرب $5$ في $5^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.6.1

اضرب $5$ في $5^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.6.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $1$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

خطوة 3.3.2.1.6.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5^{1 + 2}$

خطوة 3.3.2.1.6.2

أضف $1$ و $2$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5^{3}$

خطوة 3.3.2.1.7

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 125$

خطوة 3.3.2.2

أضف $- 50$ و $125$ .

$f (\sqrt{5}) = 75$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $75$ .

$75$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\sqrt{5}$ في $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ هي $(\sqrt{5}, 75)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\sqrt{5}, 75)$

خطوة 3.5

عوّض بقيمة $- \sqrt{5}$ في $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \sqrt{5}$ في العبارة.

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(- \sqrt{5})}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot ({(- 1)}^{6} {\sqrt{5}}^{6}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.2

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{6}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.2.1

انقُل ${(- 1)}^{6}$ .

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6} \cdot (- 1 (\frac{2}{5})) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.2.2

اضرب ${(- 1)}^{6}$ في $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.2.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6} \cdot ((- 1) (\frac{2}{5})) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6 + 1} (\frac{2}{5}) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.2.3

أضف $6$ و $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{7} (\frac{2}{5}) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $7$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{6}$ بالصيغة $5^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{6}{2}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.4.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{3}{1}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.4.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2}{5}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.5.2

أخرِج العامل $5$ من $5^{3}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.6

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.7

اضرب $- 2$ في $25$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.8

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{5}}^{4})$

خطوة 3.5.2.1.9

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 (1 {\sqrt{5}}^{4})$

خطوة 3.5.2.1.10

اضرب ${\sqrt{5}}^{4}$ في $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {\sqrt{5}}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.11

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{4}$ بالصيغة $5^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.11.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.11.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

خطوة 3.5.2.1.11.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{4}{2}}$

خطوة 3.5.2.1.11.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.11.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

خطوة 3.5.2.1.11.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.11.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

خطوة 3.5.2.1.11.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

خطوة 3.5.2.1.11.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2}{1}}$

خطوة 3.5.2.1.11.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

خطوة 3.5.2.1.12

اضرب $5$ في $5^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.12.1

اضرب $5$ في $5^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.12.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

خطوة 3.5.2.1.12.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5^{1 + 2}$

خطوة 3.5.2.1.12.2

أضف $1$ و $2$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5^{3}$

خطوة 3.5.2.1.13

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 125$

خطوة 3.5.2.2

أضف $- 50$ و $125$ .

$f (- \sqrt{5}) = 75$

خطوة 3.5.2.3

الإجابة النهائية هي $75$ .

$75$

خطوة 3.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \sqrt{5}$ في $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ هي $(- \sqrt{5}, 75)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \sqrt{5}, 75)$

خطوة 3.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (\sqrt{5}, 75), (- \sqrt{5}, 75)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - \sqrt{5}) \cup (- \sqrt{5}, 0) \cup (0, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \sqrt{5})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2.33606797$ في العبارة.

$f'' (- 2.33606797) = - 12 {(- 2.33606797)}^{4} + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 2.33606797$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 12 \cdot 29.78118022 + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 12$ في $29.78118022$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 2.33606797$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 60 \cdot 5.45721359$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $60$ في $5.45721359$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 327.43281572$

خطوة 5.2.2

أضف $- 357.37416272$ و $327.43281572$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 29.94134699$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 29.94134699$ .

$- 29.94134699$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $- 2.33606797$ يساوي $- 29.94134699$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - \sqrt{5})$

تناقص خلال $(- \infty, - \sqrt{5})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \sqrt{5}, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.11803398$ في العبارة.

$f'' (- 1.11803398) = - 12 {(- 1.11803398)}^{4} + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1.11803398$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 12 \cdot 1.5625 + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 12$ في $1.5625$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 1.11803398$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 60 \cdot 1.25$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $60$ في $1.25$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 75$

خطوة 6.2.2

أضف $- 18.75$ و $75$ .

$f'' (- 1.11803398) = 56.25$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $56.25$ .

$56.25$

خطوة 6.3

في $- 1.11803398$ ، المشتق الثاني هو $56.25$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \sqrt{5}, 0)$ .

تزايد خلال $(- \sqrt{5}, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \sqrt{5})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.11803398$ في العبارة.

$f'' (1.11803398) = - 12 {(1.11803398)}^{4} + 60 {(1.11803398)}^{2}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $1.11803398$ إلى القوة $4$ .

$f'' (1.11803398) = - 12 \cdot 1.5625 + 60 {(1.11803398)}^{2}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 12$ في $1.5625$ .

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 60 {(1.11803398)}^{2}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $1.11803398$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 60 \cdot 1.25$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $60$ في $1.25$ .

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 75$

خطوة 7.2.2

أضف $- 18.75$ و $75$ .

$f'' (1.11803398) = 56.25$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $56.25$ .

$56.25$

خطوة 7.3

في $1.11803398$ ، المشتق الثاني هو $56.25$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, \sqrt{5})$ .

تزايد خلال $(0, \sqrt{5})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(\sqrt{5}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.33606797$ في العبارة.

$f'' (2.33606797) = - 12 {(2.33606797)}^{4} + 60 {(2.33606797)}^{2}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $2.33606797$ إلى القوة $4$ .

$f'' (2.33606797) = - 12 \cdot 29.78118022 + 60 {(2.33606797)}^{2}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 12$ في $29.78118022$ .

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 60 {(2.33606797)}^{2}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $2.33606797$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 60 \cdot 5.45721359$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $60$ في $5.45721359$ .

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 327.43281572$

خطوة 8.2.2

أضف $- 357.37416272$ و $327.43281572$ .

$f'' (2.33606797) = - 29.94134699$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 29.94134699$ .

$- 29.94134699$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $2.33606797$ يساوي $- 29.94134699$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(\sqrt{5}, \infty)$

تناقص خلال $(\sqrt{5}, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- \sqrt{5}, 75), (\sqrt{5}, 75)$ .

$(- \sqrt{5}, 75), (\sqrt{5}, 75)$

خطوة 10