حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{8 \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} d x$

خطوة 1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$8 \int \frac{\arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{(1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}) \cdot 2} d u_{1}$

خطوة 3.2

انقُل $2$ إلى يسار $1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{2 (1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2})} d u_{1}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$8 (\frac{1}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $8$ .

$\frac{8}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

خطوة 5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

خطوة 5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{1} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

خطوة 5.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$4 \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

خطوة 6

لنفترض أن $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . إذن $d u_{2} = \frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} d u_{1}$ ، لذا $- d u_{2} = \frac{- 1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})]$

خطوة 6.1.2

مشتق $\arctan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

خطوة 6.1.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$

خطوة 6.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$4 \int u_{2} d u_{2}$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $4 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ بالصيغة $4 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$4 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 8.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 8.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 8.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 8.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 8.2.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 9

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\arctan (u_{1})$ .

$2 {\arctan (u_{1})}^{2} + C$

خطوة 9.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$2 {\arctan (2 x)}^{2} + C$