حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$

خطوة 1

اكتب $\sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$ في صورة دالة.

$f (x) = \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{2} x^{\frac{1}{2}} d x$

خطوة 4.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) d x$

خطوة 4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + 2} d x$

خطوة 4.2.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

خطوة 4.2.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} d x$

خطوة 4.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} d x$

خطوة 4.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1 + 4}{2}} d x$

خطوة 4.2.6.2

أضف $1$ و $4$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \sqrt{x} d x + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

خطوة 6

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

خطوة 8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 \int x^{\frac{5}{2}} d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{5}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{7}) x^{\frac{7}{2}} + C$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اجمع $2$ و $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

خطوة 10.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$