حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2}{5} x^{6} - 7 x^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{2}{5} x^{6} - 7 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{6}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $\frac{2}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{5} x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$\frac{2}{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.3

اجمع $6$ و $\frac{2}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{12}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.5

اجمع $\frac{12}{5}$ و $x^{5}$ .

$\frac{12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 7 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 7 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{12 x^{5}}{5} - 7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{12 x^{5}}{5} - 7 (4 x^{3})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $4$ في $- 7$ .

$f' (x) = \frac{12 x^{5}}{5} - 28 x^{3}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{12 x^{5}}{5} - 28 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 28 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 28 x^{3}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{12 x^{5}}{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $\frac{12}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{12 x^{5}}{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 28 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{12}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 28 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.3

اجمع $5$ و $\frac{12}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 12}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 28 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.4

اضرب $5$ في $12$ .

$\frac{60}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 28 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.5

اجمع $\frac{60}{5}$ و $x^{4}$ .

$\frac{60 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 28 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $60$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.6.1

أخرِج العامل $5$ من $60 x^{4}$ .

$\frac{5 (12 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 28 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.6.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{5 (12 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 28 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (12 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 28 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{12 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 28 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.6.2.4

اقسِم $12 x^{4}$ على $1$ .

$12 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 28 x^{3}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 28 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 28$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 28 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{4} - 28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$12 x^{4} - 28 (3 x^{2})$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $3$ في $- 28$ .

$f'' (x) = 12 x^{4} - 84 x^{2}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 x^{4} - 84 x^{2}$ .

$12 x^{4} - 84 x^{2}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $12 x^{4} - 84 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 x^{4} - 84 x^{2} = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$12 {(x^{2})}^{2} - 84 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$12 u^{2} - 84 u = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $12 u$ من $12 u^{2} - 84 u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أخرِج العامل $12 u$ من $12 u^{2}$ .

$12 u (u) - 84 u = 0$

خطوة 2.2.3.2

أخرِج العامل $12 u$ من $- 84 u$ .

$12 u (u) + 12 u (- 7) = 0$

خطوة 2.2.3.3

أخرِج العامل $12 u$ من $12 u (u) + 12 u (- 7)$ .

$12 u (u - 7) = 0$

خطوة 2.2.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$12 x^{2} (x^{2} - 7) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 7 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 2.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 2.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x^{2} - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 7 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 7 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 7$

خطوة 2.5.2.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{7}$

خطوة 2.5.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{7}$

خطوة 2.5.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{7}$

خطوة 2.5.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $12 x^{2} (x^{2} - 7) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{2}{5} x^{6} - 7 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{2}{5} \cdot {(0)}^{6} - 7 {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{2}{5} \cdot 0 - 7 {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $\frac{2}{5}$ في $0$ .

$f (0) = 0 - 7 {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 7 \cdot 0$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $- 7$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 3.1.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{2}{5} x^{6} - 7 x^{4}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $\sqrt{7}$ في $f (x) = \frac{2}{5} x^{6} - 7 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\sqrt{7}$ في العبارة.

$f (\sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot {(\sqrt{7})}^{6} - 7 {(\sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{7}}^{6}$ بالصيغة $7^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{7}$ في صورة $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot {(7^{\frac{1}{2}})}^{6} - 7 {(\sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 6} - 7 {(\sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot 7^{\frac{6}{2}} - 7 {(\sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot 7^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - 7 {(\sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot 7^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - 7 {(\sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot 7^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - 7 {(\sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot 7^{\frac{3}{1}} - 7 {(\sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.4.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot 7^{3} - 7 {(\sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.2

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot 343 - 7 {(\sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.3

اضرب $\frac{2}{5} \cdot 343$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و $343$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{2 \cdot 343}{5} - 7 {(\sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.3.2

اضرب $2$ في $343$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 {(\sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt{7}}^{4}$ بالصيغة $7^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{7}$ في صورة $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 {(7^{\frac{1}{2}})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

خطوة 3.3.2.1.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 \cdot 7^{\frac{4}{2}}$

خطوة 3.3.2.1.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 \cdot 7^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 \cdot 7^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 \cdot 7^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 \cdot 7^{\frac{2}{1}}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 \cdot 7^{2}$

خطوة 3.3.2.1.5

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 \cdot 49$

خطوة 3.3.2.1.6

اضرب $- 7$ في $49$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 343$

خطوة 3.3.2.2

لكتابة $- 343$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 343 \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 3.3.2.3

اجمع $- 343$ و $\frac{5}{5}$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{686}{5} + \frac{- 343 \cdot 5}{5}$

خطوة 3.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\sqrt{7}) = \frac{686 - 343 \cdot 5}{5}$

خطوة 3.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

اضرب $- 343$ في $5$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{686 - 1715}{5}$

خطوة 3.3.2.5.2

اطرح $1715$ من $686$ .

$f (\sqrt{7}) = \frac{- 1029}{5}$

خطوة 3.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\sqrt{7}) = - \frac{1029}{5}$

خطوة 3.3.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{1029}{5}$ .

$- \frac{1029}{5}$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\sqrt{7}$ في $f (x) = \frac{2}{5} x^{6} - 7 x^{4}$ هي $(\sqrt{7}, - \frac{1029}{5})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\sqrt{7}, - \frac{1029}{5})$

خطوة 3.5

عوّض بقيمة $- \sqrt{7}$ في $f (x) = \frac{2}{5} x^{6} - 7 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \sqrt{7}$ في العبارة.

$f (- \sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot {(- \sqrt{7})}^{6} - 7 {(- \sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{7}$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot ({(- 1)}^{6} {\sqrt{7}}^{6}) - 7 {(- \sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $6$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot (1 {\sqrt{7}}^{6}) - 7 {(- \sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.3

اضرب ${\sqrt{7}}^{6}$ في $1$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot {\sqrt{7}}^{6} - 7 {(- \sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt{7}}^{6}$ بالصيغة $7^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{7}$ في صورة $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot {(7^{\frac{1}{2}})}^{6} - 7 {(- \sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 6} - 7 {(- \sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot 7^{\frac{6}{2}} - 7 {(- \sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot 7^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - 7 {(- \sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.4.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot 7^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - 7 {(- \sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot 7^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - 7 {(- \sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot 7^{\frac{3}{1}} - 7 {(- \sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.4.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot 7^{3} - 7 {(- \sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.5

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{2}{5} \cdot 343 - 7 {(- \sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.6

اضرب $\frac{2}{5} \cdot 343$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.6.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و $343$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{2 \cdot 343}{5} - 7 {(- \sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.6.2

اضرب $2$ في $343$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 {(- \sqrt{7})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.7

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{7}$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{7}}^{4})$

خطوة 3.5.2.1.8

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 (1 {\sqrt{7}}^{4})$

خطوة 3.5.2.1.9

اضرب ${\sqrt{7}}^{4}$ في $1$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 {\sqrt{7}}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.10

أعِد كتابة ${\sqrt{7}}^{4}$ بالصيغة $7^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.10.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{7}$ في صورة $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 {(7^{\frac{1}{2}})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.10.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

خطوة 3.5.2.1.10.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 \cdot 7^{\frac{4}{2}}$

خطوة 3.5.2.1.10.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.10.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 \cdot 7^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

خطوة 3.5.2.1.10.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.10.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 \cdot 7^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

خطوة 3.5.2.1.10.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 \cdot 7^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

خطوة 3.5.2.1.10.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 \cdot 7^{\frac{2}{1}}$

خطوة 3.5.2.1.10.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 \cdot 7^{2}$

خطوة 3.5.2.1.11

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 7 \cdot 49$

خطوة 3.5.2.1.12

اضرب $- 7$ في $49$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 343$

خطوة 3.5.2.2

لكتابة $- 343$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{686}{5} - 343 \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 3.5.2.3

اجمع $- 343$ و $\frac{5}{5}$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{686}{5} + \frac{- 343 \cdot 5}{5}$

خطوة 3.5.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \sqrt{7}) = \frac{686 - 343 \cdot 5}{5}$

خطوة 3.5.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.1

اضرب $- 343$ في $5$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{686 - 1715}{5}$

خطوة 3.5.2.5.2

اطرح $1715$ من $686$ .

$f (- \sqrt{7}) = \frac{- 1029}{5}$

خطوة 3.5.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \sqrt{7}) = - \frac{1029}{5}$

خطوة 3.5.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{1029}{5}$ .

$- \frac{1029}{5}$

خطوة 3.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \sqrt{7}$ في $f (x) = \frac{2}{5} x^{6} - 7 x^{4}$ هي $(- \sqrt{7}, - \frac{1029}{5})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \sqrt{7}, - \frac{1029}{5})$

خطوة 3.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (\sqrt{7}, - \frac{1029}{5}), (- \sqrt{7}, - \frac{1029}{5})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - \sqrt{7}) \cup (- \sqrt{7}, 0) \cup (0, \sqrt{7}) \cup (\sqrt{7}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \sqrt{7})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2.74575131$ في العبارة.

$f'' (- 2.74575131) = 12 {(- 2.74575131)}^{4} - 84 {(- 2.74575131)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 2.74575131$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 2.74575131) = 12 \cdot 56.83878667 - 84 {(- 2.74575131)}^{2}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $12$ في $56.83878667$ .

$f'' (- 2.74575131) = 682.06544011 - 84 {(- 2.74575131)}^{2}$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 2.74575131$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2.74575131) = 682.06544011 - 84 \cdot 7.53915026$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $- 84$ في $7.53915026$ .

$f'' (- 2.74575131) = 682.06544011 - 633.28862202$

خطوة 5.2.2

اطرح $633.28862202$ من $682.06544011$ .

$f'' (- 2.74575131) = 48.77681808$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $48.77681808$ .

$48.77681808$

خطوة 5.3

في $- 2.74575131$ ، المشتق الثاني هو $48.77681808$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - \sqrt{7})$ .

تزايد خلال $(- \infty, - \sqrt{7})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \sqrt{7}, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.32287565$ في العبارة.

$f'' (- 1.32287565) = 12 {(- 1.32287565)}^{4} - 84 {(- 1.32287565)}^{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1.32287565$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 1.32287565) = 12 \cdot 3.0625 - 84 {(- 1.32287565)}^{2}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $12$ في $3.0625$ .

$f'' (- 1.32287565) = 36.75 - 84 {(- 1.32287565)}^{2}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 1.32287565$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.32287565) = 36.75 - 84 \cdot 1.75$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $- 84$ في $1.75$ .

$f'' (- 1.32287565) = 36.75 - 147$

خطوة 6.2.2

اطرح $147$ من $36.75$ .

$f'' (- 1.32287565) = - 110.25$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 110.25$ .

$- 110.25$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 1.32287565$ يساوي $- 110.25$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \sqrt{7}, 0)$

تناقص خلال $(- \sqrt{7}, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \sqrt{7})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.32287565$ في العبارة.

$f'' (1.32287565) = 12 {(1.32287565)}^{4} - 84 {(1.32287565)}^{2}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $1.32287565$ إلى القوة $4$ .

$f'' (1.32287565) = 12 \cdot 3.0625 - 84 {(1.32287565)}^{2}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $12$ في $3.0625$ .

$f'' (1.32287565) = 36.75 - 84 {(1.32287565)}^{2}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $1.32287565$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.32287565) = 36.75 - 84 \cdot 1.75$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $- 84$ في $1.75$ .

$f'' (1.32287565) = 36.75 - 147$

خطوة 7.2.2

اطرح $147$ من $36.75$ .

$f'' (1.32287565) = - 110.25$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 110.25$ .

$- 110.25$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $1.32287565$ يساوي $- 110.25$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0, \sqrt{7})$

تناقص خلال $(0, \sqrt{7})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(\sqrt{7}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.74575131$ في العبارة.

$f'' (2.74575131) = 12 {(2.74575131)}^{4} - 84 {(2.74575131)}^{2}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $2.74575131$ إلى القوة $4$ .

$f'' (2.74575131) = 12 \cdot 56.83878667 - 84 {(2.74575131)}^{2}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $12$ في $56.83878667$ .

$f'' (2.74575131) = 682.06544011 - 84 {(2.74575131)}^{2}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $2.74575131$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2.74575131) = 682.06544011 - 84 \cdot 7.53915026$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $- 84$ في $7.53915026$ .

$f'' (2.74575131) = 682.06544011 - 633.28862202$

خطوة 8.2.2

اطرح $633.28862202$ من $682.06544011$ .

$f'' (2.74575131) = 48.77681808$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $48.77681808$ .

$48.77681808$

خطوة 8.3

في $2.74575131$ ، المشتق الثاني هو $48.77681808$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\sqrt{7}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\sqrt{7}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- \sqrt{7}, - \frac{1029}{5}), (\sqrt{7}, - \frac{1029}{5})$ .

$(- \sqrt{7}, - \frac{1029}{5}), (\sqrt{7}, - \frac{1029}{5})$

خطوة 10