حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{6} x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$\frac{1}{6} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.3

اجمع $6$ و $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6}{6} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.4

اجمع $\frac{6}{6}$ و $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.5.2

اقسِم $x^{5}$ على $1$ .

$x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$x^{5} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{5} + 5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$x^{5} + 5 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $4$ في $- 5$ .

$f' (x) = x^{5} + 5 x^{4} - 20 x^{3}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{5} + 5 x^{4} - 20 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

خطوة 1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $4$ في $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 20 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 20 (3 x^{2})$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $3$ في $- 20$ .

$f'' (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $5 x^{2}$ من $5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $5 x^{2}$ من $5 x^{4}$ .

$5 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $5 x^{2}$ من $20 x^{3}$ .

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x) - 60 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $5 x^{2}$ من $- 60 x^{2}$ .

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x) + 5 x^{2} (- 12) = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $5 x^{2}$ من $5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x)$ .

$5 x^{2} (x^{2} + 4 x) + 5 x^{2} (- 12) = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $5 x^{2}$ من $5 x^{2} (x^{2} + 4 x) + 5 x^{2} (- 12)$ .

$5 x^{2} (x^{2} + 4 x - 12) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل $x^{2} + 4 x - 12$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 12$ ومجموعهما $4$ .

$- 2, 6$

خطوة 2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$5 x^{2} ((x - 2) (x + 6)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$5 x^{2} (x - 2) (x + 6) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 2.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 2.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 2.5.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 2.6

عيّن قيمة العبارة $x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

عيّن قيمة $x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 6 = 0$

خطوة 2.6.2

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$x = - 6$

خطوة 2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $5 x^{2} (x - 2) (x + 6) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 2, - 6$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{1}{6} \cdot {(0)}^{6} + {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{1}{6} \cdot 0 + {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $\frac{1}{6}$ في $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 0 - 5 {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 0 - 5 \cdot 0$

خطوة 3.1.2.1.5

اضرب $- 5$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

خطوة 3.1.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 3.1.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $2$ في $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = \frac{1}{6} \cdot {(2)}^{6} + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $6$ .

$f (2) = \frac{1}{6} \cdot 64 + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (2) = \frac{1}{2 (3)} \cdot 64 + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $64$ .

$f (2) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (2) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot 32 + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $32$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + 32 - 5 {(2)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + 32 - 5 \cdot 16$

خطوة 3.3.2.1.6

اضرب $- 5$ في $16$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + 32 - 80$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اكتب $32$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32}{1} - 80$

خطوة 3.3.2.2.2

اضرب $\frac{32}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32}{1} \cdot \frac{3}{3} - 80$

خطوة 3.3.2.2.3

اضرب $\frac{32}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} - 80$

خطوة 3.3.2.2.4

اكتب $- 80$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 80}{1}$

خطوة 3.3.2.2.5

اضرب $\frac{- 80}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 80}{1} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.3.2.2.6

اضرب $\frac{- 80}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 80 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (2) = \frac{32 + 32 \cdot 3 - 80 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.3.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

اضرب $32$ في $3$ .

$f (2) = \frac{32 + 96 - 80 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.3.2.4.2

اضرب $- 80$ في $3$ .

$f (2) = \frac{32 + 96 - 240}{3}$

خطوة 3.3.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

أضف $32$ و $96$ .

$f (2) = \frac{128 - 240}{3}$

خطوة 3.3.2.5.2

اطرح $240$ من $128$ .

$f (2) = \frac{- 112}{3}$

خطوة 3.3.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (2) = - \frac{112}{3}$

خطوة 3.3.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{112}{3}$ .

$- \frac{112}{3}$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $2$ في $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ هي $(2, - \frac{112}{3})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(2, - \frac{112}{3})$

خطوة 3.5

عوّض بقيمة $- 6$ في $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot {(- 6)}^{6} + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

خطوة 3.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $6$ .

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot 46656 + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.2.1

أخرِج العامل $6$ من $46656$ .

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot (6 (7776)) + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 7776) + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 6) = 7776 + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.3

ارفع $- 6$ إلى القوة $5$ .

$f (- 6) = 7776 - 7776 - 5 {(- 6)}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4

ارفع $- 6$ إلى القوة $4$ .

$f (- 6) = 7776 - 7776 - 5 \cdot 1296$

خطوة 3.5.2.1.5

اضرب $- 5$ في $1296$ .

$f (- 6) = 7776 - 7776 - 6480$

خطوة 3.5.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

اطرح $7776$ من $7776$ .

$f (- 6) = 0 - 6480$

خطوة 3.5.2.2.2

اطرح $6480$ من $0$ .

$f (- 6) = - 6480$

خطوة 3.5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 6480$ .

$- 6480$

خطوة 3.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 6$ في $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ هي $(- 6, - 6480)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 6, - 6480)$

خطوة 3.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (2, - \frac{112}{3}), (- 6, - 6480)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 6)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6.1$ في العبارة.

$f'' (- 6.1) = 5 {(- 6.1)}^{4} + 20 {(- 6.1)}^{3} - 60 {(- 6.1)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 6.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 6.1) = 5 \cdot 1384.5841 + 20 {(- 6.1)}^{3} - 60 {(- 6.1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $5$ في $1384.5841$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 + 20 {(- 6.1)}^{3} - 60 {(- 6.1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 6.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 + 20 \cdot - 226.981 - 60 {(- 6.1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $20$ في $- 226.981$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 - 4539.62 - 60 {(- 6.1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.5

ارفع $- 6.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 - 4539.62 - 60 \cdot 37.21$

خطوة 5.2.1.6

اضرب $- 60$ في $37.21$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 - 4539.62 - 2232.6$

خطوة 5.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $4539.62$ من $6922.9205$ .

$f'' (- 6.1) = 2383.3005 - 2232.6$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $2232.6$ من $2383.3005$ .

$f'' (- 6.1) = 150.7005$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $150.7005$ .

$150.7005$

خطوة 5.3

في $- 6.1$ ، المشتق الثاني هو $150.7005$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - 6)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 6)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 6, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f'' (- 3) = 5 {(- 3)}^{4} + 20 {(- 3)}^{3} - 60 {(- 3)}^{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 3) = 5 \cdot 81 + 20 {(- 3)}^{3} - 60 {(- 3)}^{2}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $5$ في $81$ .

$f'' (- 3) = 405 + 20 {(- 3)}^{3} - 60 {(- 3)}^{2}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 3) = 405 + 20 \cdot - 27 - 60 {(- 3)}^{2}$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $20$ في $- 27$ .

$f'' (- 3) = 405 - 540 - 60 {(- 3)}^{2}$

خطوة 6.2.1.5

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 3) = 405 - 540 - 60 \cdot 9$

خطوة 6.2.1.6

اضرب $- 60$ في $9$ .

$f'' (- 3) = 405 - 540 - 540$

خطوة 6.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $540$ من $405$ .

$f'' (- 3) = - 135 - 540$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $540$ من $- 135$ .

$f'' (- 3) = - 675$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 675$ .

$- 675$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 3$ يساوي $- 675$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 6, 0)$

تناقص خلال $(- 6, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 2)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f'' (1) = 5 {(1)}^{4} + 20 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (1) = 5 \cdot 1 + 20 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $5$ في $1$ .

$f'' (1) = 5 + 20 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

خطوة 7.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (1) = 5 + 20 \cdot 1 - 60 {(1)}^{2}$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $20$ في $1$ .

$f'' (1) = 5 + 20 - 60 {(1)}^{2}$

خطوة 7.2.1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (1) = 5 + 20 - 60 \cdot 1$

خطوة 7.2.1.6

اضرب $- 60$ في $1$ .

$f'' (1) = 5 + 20 - 60$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أضف $5$ و $20$ .

$f'' (1) = 25 - 60$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $60$ من $25$ .

$f'' (1) = - 35$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 35$ .

$- 35$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $1$ يساوي $- 35$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0, 2)$

تناقص خلال $(0, 2)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.1$ في العبارة.

$f'' (2.1) = 5 {(2.1)}^{4} + 20 {(2.1)}^{3} - 60 {(2.1)}^{2}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $2.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (2.1) = 5 \cdot 19.4481 + 20 {(2.1)}^{3} - 60 {(2.1)}^{2}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $5$ في $19.4481$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 20 {(2.1)}^{3} - 60 {(2.1)}^{2}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $2.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 20 \cdot 9.261 - 60 {(2.1)}^{2}$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $20$ في $9.261$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 185.22 - 60 {(2.1)}^{2}$

خطوة 8.2.1.5

ارفع $2.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 185.22 - 60 \cdot 4.41$

خطوة 8.2.1.6

اضرب $- 60$ في $4.41$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 185.22 - 264.6$

خطوة 8.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أضف $97.2405$ و $185.22$ .

$f'' (2.1) = 282.4605 - 264.6$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $264.6$ من $282.4605$ .

$f'' (2.1) = 17.8605$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $17.8605$ .

$17.8605$

خطوة 8.3

في $2.1$ ، المشتق الثاني هو $17.8605$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(2, \infty)$ .

تزايد خلال $(2, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 6, - 6480), (2, - \frac{112}{3})$ .

$(- 6, - 6480), (2, - \frac{112}{3})$

خطوة 10