حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} e^{- x}$

خطوة 1

اكتب $x^{2} e^{- x}$ في صورة دالة.

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int x^{2} e^{- x} d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

خطوة 5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

خطوة 6

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

خطوة 7

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

خطوة 10.2

اضرب $\int e^{- x} d x$ في $1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

خطوة 11

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 11.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 11.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 11.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

خطوة 13

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

خطوة 14

أعِد كتابة $x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ بالصيغة $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$

خطوة 15

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = x^{2} e^{- x}$ .

$F (x) =$ $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$