حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 t + 2}{\sqrt{t + 1}} d t$

خطوة 1

أخرِج العامل $2$ من $2 t + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t) + 2}{\sqrt{t + 1}} d t]$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t) + 2 (1)}{\sqrt{t + 1}} d t]$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (t) + 2 (1)$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}} d t]$

خطوة 2

اضرب $\frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}}$ في $\frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}} \cdot \frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}} d t]$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اضرب $\frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}}$ في $\frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1} \sqrt{t + 1}} d t]$

خطوة 3.1.2

ارفع $\sqrt{t + 1}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1} \sqrt{t + 1}} d t]$

خطوة 3.1.3

ارفع $\sqrt{t + 1}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1} {\sqrt{t + 1}}^{1}} d t]$

خطوة 3.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1 + 1}} d t]$

خطوة 3.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{2}} d t]$

خطوة 3.1.6

أعِد كتابة ${\sqrt{t + 1}}^{2}$ بالصيغة $t + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t + 1}$ في صورة ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{({(t + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t]$

خطوة 3.1.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t]$

خطوة 3.1.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{2}{2}}} d t]$

خطوة 3.1.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{2}{2}}} d t]$

خطوة 3.1.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{1}} d t]$

خطوة 3.1.6.5

بسّط.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{t + 1} d t]$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $t + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{t + 1} d t]$

خطوة 3.2.2

اقسِم $2 \sqrt{t + 1}$ على $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} 2 \sqrt{t + 1} d t]$

خطوة 4

خُذ مشتق $\int_{1}^{x^{2} + 1} 2 \sqrt{t + 1} d t$ بالنسبة إلى $x$ باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل وقاعدة السلسلة.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1] (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(2 x + \frac{d}{d x} [1]) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

خطوة 5.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(2 x + 0) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

خطوة 5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

خطوة 5.4.2

أضف $1$ و $1$ .

$2 x (2 \sqrt{x^{2} + 2})$

خطوة 5.4.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x \sqrt{x^{2} + 2}$