حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} + a x$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + a x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [a x]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [a x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $a x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + a \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x^{2} + a \cdot 1$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $a$ في $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + a$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $3 x^{2} + a$ .

$3 x^{2} + a$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $3 x^{2} + a = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x^{2} + a = 0$

خطوة 2.2

اطرح $a$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} = - a$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = - a$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = - a$ على $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- a}{3}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{2} = - \frac{a}{3}$

خطوة 2.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- \frac{a}{3}}$

خطوة 2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

خطوة 2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

خطوة 2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $x^{3} + a x$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

${(\sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ .

$\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.1.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{a}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.1.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$\sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.1.2.1.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{a}{3}$ .

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.1.2.1.5

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.1.2.1.6

أعِد كتابة $- \frac{a^{3}}{27}$ بالصيغة ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.6.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $a^{2}$ من $a^{3}$ .

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.1.2.1.6.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $3^{2}$ من $27$ .

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.1.2.1.6.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ .

$\sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.1.2.1.6.4

أعِد ترتيب $- 1$ و ${(\frac{a}{3})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.1.2.1.6.5

أضف الأقواس.

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.1.2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.1.2.1.8

اجمع $\frac{a}{3}$ و $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.1.2.2

لكتابة $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.1.2.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اجمع $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + \frac{a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

خطوة 4.1.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

خطوة 4.1.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1

انقُل $3$ إلى يسار $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + 3 \cdot (a (\sqrt{- \frac{a}{3}}))}{3}$

خطوة 4.1.2.4.2

أضف $a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ و $3 a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

${(- \sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

${(- 1)}^{3} {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.2.2.3

أعِد كتابة ${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ .

$- \sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.2.2.4

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{a}{3}$ .

$- \sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.2.2.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- \sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.2.2.6

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{a}{3}$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.2.2.7

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.2.2.8

أعِد كتابة $- \frac{a^{3}}{27}$ بالصيغة ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.8.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $a^{2}$ من $a^{3}$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.2.2.8.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $3^{2}$ من $27$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.2.2.8.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ .

$- \sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.2.2.8.4

أعِد ترتيب $- 1$ و ${(\frac{a}{3})}^{2}$ .

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.2.2.8.5

أضف الأقواس.

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.2.2.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$- (\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}) + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.2.2.10

اجمع $\frac{a}{3}$ و $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 4.2.2.11

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}}$

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(\sqrt{- \frac{a}{3}}, \frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}), (- \sqrt{- \frac{a}{3}}, - \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}})$

خطوة 5