حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{3^{x}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{1}{3^{x}} d x$

خطوة 3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اعكِس علامة أُس $3^{x}$ وأخرِجها من القاسم.

$\int 1 {(3^{x})}^{- 1} d x$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب الأُسس في ${(3^{x})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 \cdot 3^{x \cdot - 1} d x$

خطوة 3.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\int 1 \cdot 3^{- 1 \cdot x} d x$

خطوة 3.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\int 1 \cdot 3^{- x} d x$

خطوة 3.2.2

اضرب $3^{- x}$ في $1$ .

$\int 3^{- x} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 4.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - 3^{u} d u$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int 3^{u} d u$

خطوة 6

تكامل $3^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

خطوة 7

أعِد كتابة $- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ .

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$

خطوة 9

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$