حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin^{2} (x)$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) d x$

خطوة 3

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (x)$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

خطوة 8

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 8.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 8.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 9

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

خطوة 11

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

خطوة 12

بسّط.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اجمع $\sin (2 x)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

خطوة 14.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

خطوة 14.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

خطوة 14.4

اضرب $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 14.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$