حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y' + 2 y = 0$ , $y = 3 e^{- 2 x}$

خطوة 1

أوجِد $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})$

خطوة 1.2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 e^{- 2 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 2 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 2 x$ .

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.3.2

اضرب $- 2$ في $3$ .

$- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 6 e^{- 2 x} \cdot 1$

خطوة 1.3.3.4

اضرب $- 6$ في $1$ .

$- 6 e^{- 2 x}$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

خطوة 2

عوّض في المعادلة التفاضلية المُعطاة.

$- 6 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$- 6 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0$

خطوة 3.2

أضف $- 6 e^{- 2 x}$ و $6 e^{- 2 x}$ .

$0 = 0$

خطوة 4

الحل المُعطى يستوفي شروط المعادلة التفاضلية المُعطاة.

$y = 3 e^{- 2 x}$ تمثل حلاً لـ $y' + 2 y = 0$