حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int [12 x^{2} + \csc^{2} (3 x)] d x$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int 12 x^{2} + \csc^{2} (3 x) d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 12 x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

خطوة 3

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$12 \int x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (3 x) d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

خطوة 6.2

اجمع $\csc^{2} (u)$ و $\frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \frac{\csc^{2} (u)}{3} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

خطوة 8

بما أن مشتق $- \cot (u)$ هو $\csc^{2} (u)$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (u)$ هو $- \cot (u)$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} (- \cot (u) + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

$4 x^{3} + \frac{1}{3} (- \cot (u)) + C$

خطوة 9.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\cot (u)$ .

$4 x^{3} - \frac{\cot (u)}{3} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$4 x^{3} - \frac{\cot (3 x)}{3} + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$4 x^{3} - \frac{1}{3} \cot (3 x) + C$