حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x + \sqrt{x + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \sqrt{x + 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + 1}$ في صورة ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)$

خطوة 1.2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)$

خطوة 1.2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)$

خطوة 1.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)$

خطوة 1.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)$

خطوة 1.2.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)$

خطوة 1.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)$

خطوة 1.2.11

أضف $1$ و $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

خطوة 1.2.12

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1$

خطوة 1.2.13

اضرب $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ في $1$ .

$1 + \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.2.14

انقُل ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2.1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 2.2.4

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x + 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

خطوة 2.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

خطوة 2.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

خطوة 2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])))$

خطوة 2.2.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

خطوة 2.2.8

اضرب الأُسس في ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

خطوة 2.2.8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

خطوة 2.2.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

خطوة 2.2.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

خطوة 2.2.9

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)))$

خطوة 2.2.10

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

خطوة 2.2.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

خطوة 2.2.12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.12.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)))$

خطوة 2.2.12.2

اطرح $2$ من $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)))$

خطوة 2.2.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)))$

خطوة 2.2.14

أضف $1$ و $0$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1))$

خطوة 2.2.15

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1))$

خطوة 2.2.16

اضرب $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ في $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 2.2.17

انقُل ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 2.2.18

اجمع $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و ${(x + 1)}^{- 1}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{{(x + 1)}^{- 1}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 2.2.19

انقُل ${(x + 1)}^{- 1}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)})$

خطوة 2.2.20

اضرب ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ في $x + 1$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.20.1

انقُل $x + 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ((x + 1) {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

خطوة 2.2.20.2

اضرب $x + 1$ في ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.20.2.1

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

خطوة 2.2.20.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}})$

خطوة 2.2.20.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

خطوة 2.2.20.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}})$

خطوة 2.2.20.5

أضف $2$ و $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}})$

خطوة 2.2.21

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$0 - \frac{1}{2 (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

خطوة 2.2.22

اضرب $2$ في $2$ .

$0 - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.3

اطرح $\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ من $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$

خطوة 3.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ بالصيغة ${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 3.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

خطوة 3.1.2.2.2

اضرب $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

خطوة 3.1.2.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 3}{2}}]$

خطوة 3.1.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.6.2

اطرح $2$ من $- 3$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.7.2

اجمع ${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ و $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.7.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1

انقُل $3$ إلى يسار ${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 \cdot {(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.7.3.2

انقُل ${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.7.3.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) (\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.7.3.4

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.7.4

اضرب $\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 4} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 3.7.5

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 3.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.10

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (1 + 0)$

خطوة 3.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot 1$

خطوة 3.11.2

اضرب $\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ في $1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بما أن $\frac{3}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}]$

خطوة 4.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ بالصيغة ${({(x + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 4.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1}]$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.2.1

اجمع $\frac{5}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}]$

خطوة 4.1.2.2.2.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 5}{2}}]$

خطوة 4.1.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$\frac{3}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{5}{2}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 4.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 4.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 4.6.2

اطرح $2$ من $- 5$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 4.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 4.7.2

اجمع ${(x + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ و $\frac{5}{2}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 4.7.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.3.1

انقُل $5$ إلى يسار ${(x + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5 \cdot {(x + 1)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 4.7.3.2

انقُل ${(x + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 4.7.4

اضرب $\frac{3}{8}$ في $\frac{5}{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{8 (2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 4.7.5

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.5.1

اضرب $3$ في $5$ .

$- \frac{15}{8 (2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 4.7.5.2

اضرب $2$ في $8$ .

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 4.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 4.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 4.10

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} (1 + 0)$

خطوة 4.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot 1$

خطوة 4.11.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$