حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sin^{4} (e^{2 x}) \cos (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{3} = \sin (e^{2 x})$ . إذن $d u_{3} = 2 e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{3}$ و $d$ $u_{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{3} = \sin (e^{2 x})$ . أوجِد $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (e^{2 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (e^{2 x})]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $e^{2 x}$ .

$\cos (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$\cos (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

خطوة 1.1.4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 2)$

خطوة 1.1.4.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$\cos (e^{2 x}) (2 \cdot e^{2 x})$

خطوة 1.1.4.3.3

أعِد ترتيب عوامل $\cos (e^{2 x}) (2 e^{2 x})$ .

$2 e^{2 x} \cos (e^{2 x})$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{3}$ و $d u_{3}$ .

$\int {u_{3}}^{4} \frac{1}{2} d u_{3}$

خطوة 2

اجمع ${u_{3}}^{4}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{4}}{2} d u_{3}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{3}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{4} d u_{3}$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{3}}^{4}$ بالنسبة إلى $u_{3}$ هو $\frac{1}{5} {u_{3}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5} {u_{3}}^{5} + C$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{1}{10} {u_{3}}^{5} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $\sin (e^{2 x})$ .

$\frac{1}{10} \sin^{5} (e^{2 x}) + C$