حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{2} \sqrt{3 x + 2} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = \sqrt{3 x + 2}$ .

$x^{2} (\frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{2}{9}$ و ${(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{2} \frac{2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

خطوة 2.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{2}{9} \cdot 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{2}{9} \cdot 2$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - (\frac{2}{9} \cdot 2 \int {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{2}{9}$ و $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - (\frac{2 \cdot 2}{9} \int {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

خطوة 4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 3 x + 2$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 3 x + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 5.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int u^{\frac{3}{2}} (\frac{u}{3} - \frac{2}{3}) \frac{1}{3} d u$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} (\frac{u}{3} - \frac{2}{3}) d u$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{u}{3} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} (- \frac{2}{3}) d u$

خطوة 7.2

أعِد ترتيب $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ و $- 1$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

خطوة 7.3

اضرب $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ في $\frac{u}{3}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}} u}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

خطوة 7.4

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}} u^{1}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

خطوة 7.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2} + 1}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

خطوة 7.6

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

خطوة 7.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3 + 2}{2}}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

خطوة 7.8

أضف $3$ و $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

خطوة 7.9

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

خطوة 7.10

اجمع $- 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 2}{3} d u$

خطوة 7.11

اجمع $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ و $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}}{3} d u$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل $2$ إلى يسار $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{2 \cdot u^{\frac{3}{2}}}{3}}{3} d u$

خطوة 8.2

أعِد كتابة $- 1 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ بالصيغة $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}}{3} d u$

خطوة 8.3

أعِد كتابة $\frac{- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}}{3}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 8.4

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 3} d u$

خطوة 8.5

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} d u + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{9}$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \int u^{\frac{5}{2}} d u + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{5}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

خطوة 12

اجمع $\frac{2}{7}$ و $u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

خطوة 13

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \int \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

خطوة 14

بما أن $\frac{2}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{2}{9}$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - (\frac{2}{9} \int u^{\frac{3}{2}} d u))$

خطوة 15

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \frac{2}{9} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \frac{2}{9} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

خطوة 16.2

بسّط.

$\frac{2}{9} x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 16.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.1

اجمع $\frac{2}{9}$ و $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 16.3.2

اجمع $\frac{2 x^{2}}{9}$ و ${(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 16.3.3

اضرب $\frac{1}{9}$ في $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{9 \cdot 7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 16.3.4

اضرب $9$ في $7$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 16.3.5

اضرب $\frac{2}{5}$ في $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 9} u^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 16.3.6

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5 \cdot 9} u^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 16.3.7

اضرب $5$ في $9$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 16.3.8

لكتابة $- \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot \frac{9}{9} + C$

خطوة 16.3.9

اجمع $- \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}})$ و $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{- \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 9}{9} + C$

خطوة 16.3.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 9}{9} + C$

خطوة 16.3.11

اجمع $\frac{2}{63}$ و $u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 9}{9} + C$

خطوة 16.3.12

اجمع $u^{\frac{5}{2}}$ و $\frac{4}{45}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45}) \cdot 9}{9} + C$

خطوة 16.3.13

اضرب $9$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 9 (\frac{4}{9}) (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

خطوة 16.3.14

اجمع $- 9$ و $\frac{4}{9}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 \cdot 4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

خطوة 16.3.15

اضرب $- 9$ في $4$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 36}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

خطوة 16.3.16

احذِف العامل المشترك لـ $- 36$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.16.1

أخرِج العامل $9$ من $- 36$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 \cdot - 4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

خطوة 16.3.16.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.16.2.1

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 \cdot - 4}{9 (1)} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

خطوة 16.3.16.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 \cdot - 4}{9 \cdot 1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

خطوة 16.3.16.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

خطوة 16.3.16.2.4

اقسِم $- 4$ على $1$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

خطوة 16.3.17

انقُل $4$ إلى يسار $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{45})}{9} + C$

خطوة 17

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x + 2$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 {(3 x + 2)}^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{4 {(3 x + 2)}^{\frac{5}{2}}}{45})}{9} + C$

خطوة 18

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{9} (2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{63} {(3 x + 2)}^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} {(3 x + 2)}^{\frac{5}{2}})) + C$