حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} x^{4} e^{2 x^{5} - 7} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 x^{5} - 7$ . إذن $d u = 10 x^{4} d x$ ، لذا $\frac{1}{10} d u = x^{4} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 x^{5} - 7$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x^{5} - 7$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} - 7]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{5} - 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $5$ في $2$ .

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$10 x^{4} + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $10 x^{4}$ و $0$ .

$10 x^{4}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x^{5} - 7$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0^{5} - 7$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 2 \cdot 0 - 7$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 - 7$

خطوة 1.3.2

اطرح $7$ من $0$ .

$u_{lower} = - 7$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x^{5} - 7$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1^{5} - 7$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 7$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$u_{upper} = 2 - 7$

خطوة 1.5.2

اطرح $7$ من $2$ .

$u_{upper} = - 5$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 7$

$u_{upper} = - 5$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- 7}^{- 5} e^{u} \frac{1}{10} d u$

خطوة 2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{10}$ .

$\int_{- 7}^{- 5} \frac{e^{u}}{10} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{10}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{10} \int_{- 7}^{- 5} e^{u} d u$

خطوة 4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{10} e^{u}]_{- 7}^{- 5}$

خطوة 5

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- 5$ وفي $- 7$ .

$\frac{1}{10} (e^{- 5} - e^{- 7})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{10} e^{- 5} + \frac{1}{10} (- e^{- 7})$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{1}{10}$ و $e^{- 5}$ .

$\frac{e^{- 5}}{10} + \frac{1}{10} (- e^{- 7})$

خطوة 6.3

اجمع $\frac{1}{10}$ و $e^{- 7}$ .

$\frac{e^{- 5}}{10} - \frac{e^{- 7}}{10}$

خطوة 6.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

انقُل $e^{- 5}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{10 e^{5}} - \frac{e^{- 7}}{10}$

خطوة 6.4.2

انقُل $e^{- 7}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{10 e^{5}} - \frac{1}{10 e^{7}}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{10 e^{5}} - \frac{1}{10 e^{7}}$

الصيغة العشرية:

$0.00058260 \dots$

خطوة 8