حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y' + y'' = 6 e^{2 x}$ , $y = e^{2 x}$

خطوة 1

أوجِد $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

خطوة 1.2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

خطوة 1.3.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

خطوة 1.3.2.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 2 e^{2 x}$

خطوة 2

أوجِد $y''$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن المشتق.

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

خطوة 2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 e^{2 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.4

احذِف الأقواس.

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.6

اضرب $2$ في $2$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

خطوة 2.8

اضرب $4$ في $1$ .

$y'' = 4 e^{2 x}$

خطوة 3

عوّض في المعادلة التفاضلية المُعطاة.

$2 e^{2 x} + 4 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

خطوة 4

أضف $2 e^{2 x}$ و $4 e^{2 x}$ .

$6 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

خطوة 5

الحل المُعطى يستوفي شروط المعادلة التفاضلية المُعطاة.

$y = e^{2 x}$ تمثل حلاً لـ $y' + y'' = 6 e^{2 x}$