حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{4}{7} {(\frac{7}{6})}^{i - 1}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام القاعدة $\frac{a}{1 - r}$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{i}$ و $a_{i + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\frac{4}{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

خطوة 2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}$ و ${(\frac{7}{6})}^{i - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل ${(\frac{7}{6})}^{i - 1}$ من ${(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

خطوة 2.2.2.2.4

اقسِم ${(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$ على $1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$

خطوة 2.2.3

أضف $i$ و $0$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - (i - 1)}$

خطوة 2.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - i - - 1}$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - i + 1}$

خطوة 2.2.5

اطرح $i$ من $i$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{0 + 1}$

خطوة 2.2.6

أضف $0$ و $1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{1}$

خطوة 2.2.7

بسّط.

$r = \frac{7}{6}$

خطوة 3

تحقق مما إذا كانت السلسلة متقاربة أو متباعدة.

بما أن $| r | \geq 1$ ، إذن السلسلة متباعدة.