حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x}{e^{2 x}} d x$

خطوة 1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اعكِس علامة أُس $e^{2 x}$ وأخرِجها من القاسم.

$\int x {(e^{2 x})}^{- 1} d x$

خطوة 1.2

اضرب الأُسس في ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x e^{2 x \cdot - 1} d x$

خطوة 1.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\int x e^{- 2 x} d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- 2 x}$ .

$x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $e^{- 2 x}$ و $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

خطوة 3.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

خطوة 4

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- \frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

خطوة 5.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u = - 2 x$ . إذن $d u = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 6.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 7.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

خطوة 10.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

خطوة 11

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أعِد كتابة $- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

خطوة 12.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

خطوة 12.2.2

اجمع $e^{- 2 x}$ و $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 2 x$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

خطوة 14

اجمع $e^{- 2 x}$ و $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$