حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x - 1}{x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x - 1}{x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (x - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 4.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int (x - 1) x^{- 2} d x$

خطوة 5

اضرب $(x - 1) x^{- 2}$ .

$\int x \cdot x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x$ في $x^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اضرب $x$ في $x^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int x^{1} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{1 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.1.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\int x^{- 1} - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $- 1 x^{- 2}$ بالصيغة $- x^{- 2}$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} d x$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x$

خطوة 8

تكامل $x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - x^{- 2} d x$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط.

$\ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C$

خطوة 11.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C$

خطوة 11.2.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $1$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$