حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (x^{3} - 3 x + e^{3 x}) d x$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int x^{3} - 3 x + e^{3 x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{3} d x + \int - 3 x d x + \int e^{3 x} d x$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 3 x d x + \int e^{3 x} d x$

خطوة 4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 \int x d x + \int e^{3 x} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{3 x} d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 6.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

خطوة 7.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{e^{u}}{3} d u$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

خطوة 9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

خطوة 10

بسّط.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{3} e^{u} + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{3} e^{3 x} + C$