حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1}$ بالصيغة $e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1})$ بنقل $2 x + 1$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to \infty} e^{(2 x + 1) \ln (\frac{x - 4}{x + 3})}$

خطوة 2

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) \ln (\frac{x - 4}{x + 3})}$

خطوة 3

أعِد كتابة $(2 x + 1) \ln (\frac{x - 4}{x + 3})$ بالصيغة $\frac{\ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{\frac{1}{2 x + 1}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{\frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x - 4}{x + 3})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.2

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x}}{1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.3.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.3.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.3.5

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.3.6

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.4

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.5.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.5.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.5.3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.6

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.7.1.1

اضرب $- 4$ في $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1 + 3 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.7.1.2

أضف $1$ و $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 3 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.7.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.7.2.1

اضرب $3$ في $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.7.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.7.3

اقسِم $1$ على $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.2.7.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

خطوة 4.1.3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{2 x + 1}$ يقترب من $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

خطوة 4.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{0}{0}}$

خطوة 4.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{\frac{1}{2 x + 1}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x - 4}{x + 3})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}$

خطوة 4.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x - 4}{x + 3})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{x - 4}{x + 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x - 4}{x + 3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x - 4}{x + 3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x - 4}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{x - 4}{x + 3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x + 3}{x - 4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.4

اضرب $\frac{x + 3}{x - 4}$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x - 4$ و $g (x) = x + 3$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.8

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.9

أضف $1$ و $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.10

اضرب $x + 3$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.11

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.13

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.14

أضف $1$ و $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.15

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4)}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.16

اضرب $\frac{x + 3}{x - 4}$ في $\frac{x + 3 - (x - 4)}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x + 3) (x + 3 - (x - 4))}{(x - 4) {(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.17

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.17.1

أخرِج العامل $x + 3$ من $(x - 4) {(x + 3)}^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x + 3) (x + 3 - (x - 4))}{(x + 3) (x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.17.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x + 3) (x + 3 - (x - 4))}{(x + 3) (x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.17.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3 - (x - 4)}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.18.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3 - x - - 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.18.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.18.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 3 - x - - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.18.2.1.1

اطرح $x$ من $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 + 3 - - 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.18.2.1.2

أضف $0$ و $3$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 - - 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.18.2.2

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 + 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.18.2.3

أضف $3$ و $4$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.18.3

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

خطوة 4.3.19

أعِد كتابة $\frac{1}{2 x + 1}$ بالصيغة ${(2 x + 1)}^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]}}$

خطوة 4.3.20

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = 2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.20.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]}}$

خطوة 4.3.20.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}}$

خطوة 4.3.20.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}}$

خطوة 4.3.21

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

خطوة 4.3.22

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

خطوة 4.3.23

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}}$

خطوة 4.3.24

اضرب $2$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [1])}}$

خطوة 4.3.25

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + 0)}}$

خطوة 4.3.26

أضف $2$ و $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} \cdot 2}}$

خطوة 4.3.27

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- 2 {(2 x + 1)}^{- 2}}}$

خطوة 4.3.28

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.28.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- 2 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}}}$

خطوة 4.3.28.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.28.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{- 2}{{(2 x + 1)}^{2}}}}$

خطوة 4.3.28.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}}}$

خطوة 4.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{7}{(x + 3) (x - 4)} \cdot - 1 \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{2}}$

خطوة 4.5

اضرب $\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}$ في $\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{7 {(2 x + 1)}^{2}}{(x + 3) (x - 4) \cdot 2}}$

خطوة 4.6

انقُل $2$ إلى يسار $(x + 3) (x - 4)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{7 {(2 x + 1)}^{2}}{2 (x + 3) (x - 4)}}$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{7 {(2 x + 1)}^{2}}{2 (x + 3) (x - 4)}}$

خطوة 5.2

انقُل الحد $\frac{7}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{(x + 3) (x - 4)}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

وسّع $(x + 3) (x - 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x (x - 4) + 3 (x - 4)}}$

خطوة 6.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 (x - 4)}}$

خطوة 6.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 x + 3 \cdot - 4}}$

خطوة 6.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} + x \cdot - 4 + 3 x + 3 \cdot - 4}}$

خطوة 6.2.1.2

انقُل $- 4$ إلى يسار $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} - 4 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 4}}$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $3$ في $- 4$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} - 4 x + 3 x - 12}}$

خطوة 6.2.2

أضف $- 4 x$ و $3 x$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} - x - 12}}$

خطوة 7

اقسِم البسط والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 12}{x^{2}}}}$

خطوة 8

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط كل حد.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

خطوة 8.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

خطوة 8.3

انقُل الأُس $2$ من ${(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

خطوة 8.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

خطوة 8.5

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

خطوة 8.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

خطوة 8.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

خطوة 8.7

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

خطوة 9

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

خطوة 10

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

خطوة 10.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

خطوة 11

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - 0 - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

خطوة 12

انقُل الحد $12$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - 0 - 12 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 13

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{2}}$ يقترب من $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

خطوة 14

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

اضرب $2$ في $1$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{2}}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

خطوة 14.1.2

أضف $2$ و $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{2^{2}}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

خطوة 14.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

خطوة 14.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 + 0 - 12 \cdot 0}}$

خطوة 14.2.2

اضرب $- 12$ في $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 + 0 + 0}}$

خطوة 14.2.3

أضف $1 + 0$ و $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 + 0}}$

خطوة 14.2.4

أضف $1$ و $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1}}$

خطوة 14.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{7}{2}$ إلى بسط الكسر.

$e^{\frac{- 7}{2} \cdot \frac{4}{1}}$

خطوة 14.3.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$e^{\frac{- 7}{2} \cdot \frac{2 (2)}{1}}$

خطوة 14.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{- 7}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{1}}$

خطوة 14.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$e^{- 7 \cdot 2}$

خطوة 14.4

اضرب $- 7$ في $2$ .

$e^{- 14}$

خطوة 15

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{14}}$

خطوة 16

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{e^{14}}$

الصيغة العشرية:

$8.31528719 \cdot 10^{- 7}$