حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{3 x^{2}} - \sqrt{x} + π$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{3 x^{2}} - \sqrt{x} + π d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{x^{2}}{4} d x + \int \frac{2}{3 x^{2}} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int x^{2} d x + \int \frac{2}{3 x^{2}} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \frac{2}{3 x^{2}} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

خطوة 6

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{2}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

خطوة 7

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

خطوة 7.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

خطوة 7.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} \int x^{- 2} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - \int \sqrt{x} d x + \int π d x$

خطوة 10

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int π d x$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int π d x$

خطوة 12

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + π x + C$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + π x + C$

خطوة 13.2

بسّط.

$\frac{x^{3}}{12} - \frac{2}{3 x} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + π x + C$

خطوة 14

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{12} x^{3} - \frac{2}{3 x} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + π x + C$

خطوة 15

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{3 x^{2}} - \sqrt{x} + π$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{12} x^{3} - \frac{2}{3 x} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + π x + C$