حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{3}{x^{3}} d x$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{3}{x^{3}} d x$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{3}{x^{3}} d x$

خطوة 6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\ln (| x |) + C - (3 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

خطوة 7.2

انقُل $x^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

خطوة 7.3

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

خطوة 7.3.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int x^{- 3} d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اجمع $x^{- 2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

خطوة 9.1.2

انقُل $x^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

خطوة 9.2

بسّط.

$\ln (| x |) + \frac{3}{2 x^{2}} + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{3}{2 x^{2}} + C$