حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y' = x^{2} \sin (x) + y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$x \frac{d y}{d x} = x^{2} \sin (x) + y$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (x)$

خطوة 2.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (x)$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

خطوة 2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

خطوة 2.3.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

خطوة 2.4

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x}$

خطوة 2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x^{1}}$

خطوة 2.4.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \sin (x)}{1}$

خطوة 2.4.2.5

اقسِم $x \sin (x)$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x \sin (x)$

خطوة 2.5

أخرِج العامل $y$ من $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = x \sin (x)$

خطوة 2.6

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = x \sin (x)$

خطوة 3

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

خطوة 3.2

أوجِد تكامل $\frac{- 1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

خطوة 3.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 3.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 3.2.4

بسّط.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

خطوة 3.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \ln (x)}$

خطوة 3.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

خطوة 3.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 1}$

خطوة 3.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 4

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

خطوة 4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

خطوة 4.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

خطوة 4.2.4

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

خطوة 4.2.5

اضرب $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

اضرب $\frac{y}{x}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

خطوة 4.2.5.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

خطوة 4.2.5.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

خطوة 4.2.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

خطوة 4.2.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

خطوة 4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x \sin (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (\sin (x)))$

خطوة 4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

خطوة 4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \sin (x)$

خطوة 5

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \sin (x)$

خطوة 6

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \sin (x) d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x} y = \int \sin (x) d x$

خطوة 8

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{x} y = - \cos (x) + C$

خطوة 9

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$\frac{y}{x} = - \cos (x) + C$

خطوة 9.2

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \cos (x) + C) x$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = (- \cos (x) + C) x$

خطوة 9.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (- \cos (x) + C) x$

خطوة 9.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

بسّط $(- \cos (x) + C) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \cos (x) x + C x$

خطوة 9.3.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $- \cos (x) x + C x$ .

$y = - x \cos (x) + C x$

خطوة 9.3.2.1.2.2

أعِد ترتيب $- x \cos (x)$ و $C x$ .

$y = C x - x \cos (x)$