حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 2 (2^{2 x}) d x$

خطوة 1

اضرب $2$ في $2^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$\int 2^{1} \cdot 2^{2 x} d x$

خطوة 1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 2^{1 + 2 x} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 1 + 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 1 + 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$0 + 2$

خطوة 2.1.4

أضف $0$ و $2$ .

$2$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int 2^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 3

اجمع $2^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{2^{u}}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int 2^{u} d u$

خطوة 5

تكامل $2^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

خطوة 6.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + 2 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{1 + 2 x} + C$