حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 8 x^{4} + \frac{x^{- 2}}{2}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 8 x^{4} + \frac{x^{- 2}}{2} d x$

خطوة 3

انقُل $x^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 8 x^{4} + \frac{1}{2 x^{2}} d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 8 x^{4} d x + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

خطوة 5

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$8 \int x^{4} d x + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{5}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 8.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 8.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int x^{- 2} d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

$\frac{8 x^{5}}{5} + \frac{1}{2} (- x^{- 1}) + C$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- 1}$ .

$\frac{8 x^{5}}{5} - \frac{x^{- 1}}{2} + C$

خطوة 10.2.2

انقُل $x^{- 1}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8 x^{5}}{5} - \frac{1}{2 x} + C$

خطوة 10.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{8}{5} x^{5} - \frac{1}{2 x} + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 8 x^{4} + \frac{x^{- 2}}{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{8}{5} x^{5} - \frac{1}{2 x} + C$