حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$

خطوة 1

اكتب $x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$

خطوة 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

خطوة 2.1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

خطوة 2.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

خطوة 2.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

خطوة 2.1.1.2.3

اضرب $3$ في $- 8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

خطوة 2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

بما أن $18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $18 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 18 (2 x)$

خطوة 2.1.1.3.3

اضرب $2$ في $18$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

خطوة 2.1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

خطوة 2.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

خطوة 2.1.2.2.3

اضرب $3$ في $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

خطوة 2.1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

بما أن $- 24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 24 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x)$

خطوة 2.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

خطوة 2.1.2.3.3

اضرب $2$ في $- 24$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

خطوة 2.1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $36 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36 \cdot 1$

خطوة 2.1.2.4.3

اضرب $36$ في $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36$

خطوة 2.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 x^{2} - 48 x + 36$ .

$12 x^{2} - 48 x + 36$

خطوة 2.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل $12$ من $12 x^{2} - 48 x + 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أخرِج العامل $12$ من $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) - 48 x + 36 = 0$

خطوة 2.2.2.1.2

أخرِج العامل $12$ من $- 48 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 36 = 0$

خطوة 2.2.2.1.3

أخرِج العامل $12$ من $36$ .

$12 x^{2} + 12 (- 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

خطوة 2.2.2.1.4

أخرِج العامل $12$ من $12 x^{2} + 12 (- 4 x)$ .

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

خطوة 2.2.2.1.5

أخرِج العامل $12$ من $12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3$ .

$12 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

خطوة 2.2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

حلّل $x^{2} - 4 x + 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $3$ ومجموعهما $- 4$ .

$- 3, - 1$

خطوة 2.2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$12 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

خطوة 2.2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$12 (x - 3) (x - 1) = 0$

خطوة 2.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 2.2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 2.2.4.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 2.2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 2.2.5.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 2.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $12 (x - 3) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 3, 1$

خطوة 3

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, 1)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 36$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48 \cdot 0 + 36$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $12$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 - 48 \cdot 0 + 36$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 48$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 36$

خطوة 5.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f'' (0) = 0 + 36$

خطوة 5.2.2.2

أضف $0$ و $36$ .

$f'' (0) = 36$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $36$ .

$36$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \infty, 1)$ لأن $f'' (0)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, 1)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(1, 3)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f'' (2) = 12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2 + 36$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2) = 12 \cdot 4 - 48 \cdot 2 + 36$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $12$ في $4$ .

$f'' (2) = 48 - 48 \cdot 2 + 36$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 48$ في $2$ .

$f'' (2) = 48 - 96 + 36$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $96$ من $48$ .

$f'' (2) = - 48 + 36$

خطوة 6.2.2.2

أضف $- 48$ و $36$ .

$f'' (2) = - 12$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 12$ .

$- 12$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(1, 3)$ لأن $f'' (2)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(1, 3)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 7

عوّض بأي عدد من الفترة $(3, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f'' (6) = 12 {(6)}^{2} - 48 \cdot 6 + 36$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (6) = 12 \cdot 36 - 48 \cdot 6 + 36$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $12$ في $36$ .

$f'' (6) = 432 - 48 \cdot 6 + 36$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 48$ في $6$ .

$f'' (6) = 432 - 288 + 36$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $288$ من $432$ .

$f'' (6) = 144 + 36$

خطوة 7.2.2.2

أضف $144$ و $36$ .

$f'' (6) = 180$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $180$ .

$180$

خطوة 7.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(3, \infty)$ لأن $f'' (6)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(3, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 8

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, 1)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(1, 3)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(3, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 9