حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{3}{x y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d x}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $\frac{3}{x y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} - \frac{3}{x y} = 0$

خطوة 1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d x}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اطرح $\frac{x}{y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d x}{d y} - \frac{3}{x y} = - \frac{x}{y}$

خطوة 1.1.2.2

أضف $\frac{3}{x y}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} + \frac{3}{x y}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لكتابة $- \frac{x}{y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{3}{x y}$

خطوة 1.2.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $y x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اضرب $\frac{x}{y}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \cdot x}{y x} + \frac{3}{x y}$

خطوة 1.2.2.2

أعِد ترتيب عوامل $y x$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{3}{x y}$

خطوة 1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x \cdot x + 3}{x y}$

خطوة 1.2.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

انقُل $x$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{- (x \cdot x) + 3}{x y}$

خطوة 1.2.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

خطوة 1.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

خطوة 1.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{x}{- x^{2} + 3}$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} (\frac{- x^{2} + 3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $\frac{- x^{2} + 3}{x}$ في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x (y)}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

خطوة 1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{y}$

خطوة 1.5.3

اضرب $\frac{1}{- x^{2} + 3}$ في $\frac{- x^{2} + 3}{y}$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{(- x^{2} + 3) y}$

خطوة 1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $- x^{2} + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{(- x^{2} + 3) y}$

خطوة 1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} d x = \frac{1}{y} d y$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{x}{- x^{2} + 3} d x = \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = - x^{2} + 3$ . إذن $d u = - 2 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = - x^{2} + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $- x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} + 3]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{2} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.2.1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 2 x + 0$

خطوة 2.2.1.1.4.2

أضف $- 2 x$ و $0$ .

$- 2 x$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 2.2.2.2

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 2.2.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x^{2} + 3$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 2.3

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) = \ln (| y |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |)) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\ln (| - x^{2} + 3 |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| - x^{2} + 3 |)}{2}) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\ln (| - x^{2} + 3 |)}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 2 \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - \ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.3.2

اضرب $\ln (| - x^{2} + 3 |)$ في $1$ .

$\ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 \ln (| y |) - 2 C$

خطوة 3.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + 2 \ln (| y |) = - 2 C$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط $\ln (| - x^{2} + 3 |) + 2 \ln (| y |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1

بسّط $2 \ln (| y |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + \ln ({| y |}^{2}) = - 2 C$

خطوة 3.4.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + \ln (y^{2}) = - 2 C$

خطوة 3.4.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - x^{2} + 3 | y^{2}) = - 2 C$

خطوة 3.4.1.3

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (| - x^{2} + 3 | y^{2})$ .

$\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |) = - 2 C$

خطوة 3.5

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |)} = e^{- 2 C}$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |) = - 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = y^{2} | - x^{2} + 3 |$

خطوة 3.7

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ .

$y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.2

اقسِم كل حد في $y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ على $y^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

اقسِم كل حد في $y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ على $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} | - x^{2} + 3 |}{y^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

خطوة 3.7.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} | - x^{2} + 3 |}{y^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

خطوة 3.7.2.2.1.2

اقسِم $| - x^{2} + 3 |$ على $1$ .

$| - x^{2} + 3 | = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

خطوة 3.7.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$- x^{2} + 3 = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

خطوة 3.7.4

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$

خطوة 3.7.5

اقسِم كل حد في $- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 3.7.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 3.7.5.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 3.7.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 3.7.5.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}})$ بالصيغة $- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}})$ .

$x^{2} = - (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 3.7.5.3.1.3

اقسِم $- 3$ على $- 1$ .

$x^{2} = - (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + 3$

خطوة 3.7.6

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + 3}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$x = \pm \sqrt{- (\pm \frac{C}{y^{2}}) + 3}$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$x = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{y^{2}}) + 3}$