حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = (9 + x) (8 + y)$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{8 + y}$ .

$\frac{1}{8 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{8 + y} ((9 + x) (8 + y))$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $8 + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $8 + y$ من $(9 + x) (8 + y)$ .

$\frac{1}{8 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{8 + y} ((8 + y) (9 + x))$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{8 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{8 + y} ((8 + y) (9 + x))$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{8 + y} \frac{d y}{d x} = 9 + x$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{8 + y} d y = (9 + x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{8 + y} d y = \int 9 + x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = 8 + y$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = 8 + y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $8 + y$ .

$\frac{d}{d y} [8 + y]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [8] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [8] + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.1.1.3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 9 + x d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 9 + x d x$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $8 + y$ .

$\ln (| 8 + y |) + C_{1} = \int 9 + x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| 8 + y |) + C_{1} = \int 9 d x + \int x d x$

خطوة 2.3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| 8 + y |) + C_{1} = 9 x + C_{2} + \int x d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| 8 + y |) + C_{1} = 9 x + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\ln (| 8 + y |) + C_{1} = 9 x + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (| 8 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 9 x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| 8 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + 9 x + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 8 + y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + 9 x + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| 8 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + 9 x + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + 9 x + C} = | 8 + y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 8 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + 9 x + C}$ .

$| 8 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + 9 x + C}$

خطوة 3.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$| 8 + y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + 9 x + C}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$8 + y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + 9 x + C}$

خطوة 3.3.4

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + 9 x + C} - 8$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{\frac{x^{2}}{2} + 9 x + C}$ بالصيغة $e^{\frac{x^{2}}{2} + 9 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + 9 x} e^{C} - 8$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{\frac{x^{2}}{2} + 9 x}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} + 9 x} - 8$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} + 9 x} - 8$