حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d f}{d x} = 12 x^{5} - 4 x + 3$ , $f (- 1) = 3$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d f = (12 x^{5} - 4 x + 3) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d f = \int 12 x^{5} - 4 x + 3 d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f + C_{1} = \int 12 x^{5} - 4 x + 3 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f + C_{1} = \int 12 x^{5} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$f + C_{1} = 12 \int x^{5} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 \int x d x + \int 3 d x$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

خطوة 2.3.6

طبّق قاعدة الثابت.

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $x^{6}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

خطوة 2.3.7.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

$f + C_{1} = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + C_{5}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $- 1$ عن $x$ وبـ $3$ عن $f$ في $f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$ .

$3 = 2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$ .

$2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

خطوة 4.2

بسّط $2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $6$ .

$2 \cdot 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

خطوة 4.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$2 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + K = 3$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$2 - 2 + 3 \cdot - 1 + K = 3$

خطوة 4.2.1.5

اضرب $3$ في $- 1$ .

$2 - 2 - 3 + K = 3$

خطوة 4.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اطرح $2$ من $2$ .

$0 - 3 + K = 3$

خطوة 4.2.2.2

اطرح $3$ من $0$ .

$- 3 + K = 3$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$K = 3 + 3$

خطوة 4.3.2

أضف $3$ و $3$ .

$K = 6$

خطوة 5

عوّض بـ $6$ عن $K$ في $f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $6$ .

$f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + 6$