حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + y = \sin (e^{x})$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int d x}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{x + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{x}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (e^{x})$

خطوة 2.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (e^{x})$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (e^{x})$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{x} \sin (e^{x})$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{x} \sin (e^{x}) d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{x} y = \int e^{x} \sin (e^{x}) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لنفترض أن $u = e^{x}$ . إذن $d u = e^{x} d x$ ، لذا $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

افترض أن $u = e^{x}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أوجِد مشتقة $e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 6.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x}$

خطوة 6.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{x} y = \int \sin (u) d u$

خطوة 6.2

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$e^{x} y = - \cos (u) + C$

خطوة 6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $e^{x}$ .

$e^{x} y = - \cos (e^{x}) + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{x} y = - \cos (e^{x}) + C$ على $e^{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{x} y = - \cos (e^{x}) + C$ على $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{- \cos (e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{- \cos (e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \cos (e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{\cos (e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$